【受験生必見‼‼】二項分布の近似 練習問題(数Bの確率・統計分野)

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初めに

この記事は下のリンクの記事の補足内容となっております。基礎からしっかり学びたい方や、基本をもう一度復習したい方はぜひ下の記事を読んでから解いてみてください

それでは練習問題見ていきましょう‼‼

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練習問題

サイコロを720回ふるとき、1が出る回数をXとする。Xの値が100以下である確率をもとめよ。ただし、必要ならば、下の正規分布表を使ってもいい。

Z00.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.0.0000.0040.0080.0120.0160.0199.0239.0279.0319.0359
0.1.0398.0438.0478.0517.0557.0596.0636.0675.0714.0753
0.2.0793.0832.0871.0910.0948.0987.1026.1064.1103.1141
0.3.1179.1217.1255.1293.1331.1368.1406.1443.1480.1517
0.4.1554.1591.1628.1664.1700.1736.1772.1808.1844.1879
0.5.1915.1950.1985.2019.2054.2088.2123.2157.2190.2224
0.6.2257.2291.2324.2357.2389.2422.2454.2486.2517.2549
0.7.2580.2611.2642.2673.2704.2734.2764.2794.2823.2852
0.8.2881.2910.2939.2967.2995.3023.3051.3078.3106.3133
0.9.3159.3186.3212.3238.3264.3289.3315.3340.3365.3389
1.0.3413.3438.3461.3485.3508.3531.3554.3577.3599.3621
1.1.3643.3665.3686.3708.3729.3749.3770.3790.3810.3830
1.2.3849.3869.3888.3907.3925.3944.3962.3980.3997.4015
1.3.4032.4049.4066.4082.4099.4115.4131.4147.4162.4177
1.4.4192.4207.4222.4236.4251.4265.4279.4292.4306.4319
1.5.4332.4345.4357.4370.4382.4394.4406.4418.4429.4441
1.6.4452.4463.4474.4484.4495.4505.4515.4525.4535.4545
1.7.4554.4564.4573.4582.4591.4599.4608.4616.4625.4633
1.8.4641.4649.4656.4664.4671.4678.4686.4693.4699.4706
1.9.4713.4719.4726.4732.4738.4744.4750.4756.4761.4767
2.0.4772.4778.4783.4788.4793.4798.4803.4808.4812.4817
2.1.4821.4826.4830.4834.4838.4842.4846.4850.4854.4857
2.2.4861.4864.4868.4871.4875.4878.4881.4884.4887.4890
2.3.4893.4896.4898.4901.4904.4906.4909.4911.4913.4916
2.4.4918.4920.4922.4925.4927.4929.4931.4932.4934.4936
2.5.4938.4940.4941.4943.4945.4946.4948.4949.4951.4952
2.6.4953.4955.4956.4957.4959.4960.4961.4962.4963.4964
2.7.4965.4966.4967.4968.4969.4970.4971.4972.4973.4974
2.8.4974.4975.4976.4977.4977.4978.4979.4979.4980.4981
2.9.4981.4982.4982.4983.4984.4984.4985.4985.4986.4986
3.0.4987.4987.4987.4988.4988.4989.4989.4989.4990.4990
3.1.4990.4991.4991.4991.4992.4992.4992.4992.4993.4993
3.2.4993.4993.4994.4994.4994.4994.4994.4995.4995.4995
3.3.4995.4995.4995.4996.4996.4996.4996.4996.4996.4997
3.4.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4997.4998
3.5.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998.4998
3.6.4998.4998.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999.4999
3.7.4999.4999.4999.4999.49991.49992.49992.49992.49992.49992
3.8.49993.49993.49993.49994.49994.49994.49994.49995.49995.49995
3.9.49995.49995.49996.49996.49996.49996.49996.49996.49997.49997
4.0.49997.49997.49997.49997.49997.49997.49997.49997.49997.49997
4.1.49998.49998.49998.49998.49998.49998.49998.49998.49998.49998
4.2.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999
4.3.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999
4.4.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999
4.5.49997.49997.49997.49997.49997.49997.49997.49997.49997.49997
4.6.49998.49998.49998.49998.49998.49998.49998.49998.49998.49998
4.7.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999
4.8.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999.49999
4.9.499995.499995.499995.499995.499995.499995.499995.499995.499995.499995
5.0.499997         

↑引用元:標準正規分布表

解答・解説

【読むだけで全部マスターできる‼‼】数Bの確率・統計分野にも書いてあるように、nが十分に大きい場合は、二項分布B(n,p)は、正規分布N(np,npq)に従います。ただし、q=1-pとします。

まず、上の問題の期待値と標準偏差をもとめます。【超簡単!!】二項分布の公式とその証明に載っている公式より、期待値mと、標準偏差σは、下のように求められます。

  • 期待値:m=720×(1/6)
  • 標準偏差:σ=√720×(1/6)×(5/6)=10

よって、【超簡単!!】正規分布の標準化に関する公式とその証明より、確率変数Zを、

Z=(X-120)/10

と定めることで、確率変数Zは、近似的に標準正規分布N(0,1)に従います。

よって、求める確率P(X≦100)は、P(Z≦-2)と等しいため、

P(Z≦-2)=0.5-p(-2)=0.5-0.4772=0.0228

より、問題の答えは、0.0228であることが導き出されました。

ちなみに上の式で、0.5というのは、標準正規分布の左半分を、p(-2)というのは、標準正規分布において0から‐2までの面積(上の表で赤太字で書かれているところ。)を、表しています。

これが分からない方は、下の記事を読んでもう1回、正規分布の基礎からやり直すことからお勧めします。

【読むだけで全部マスターできる‼‼】数Bの確率・統計分野


終わりに

同時分布と独立の範囲以外の確率・統計分野の問題も解いてみたい方は、下のリンクをクリックして、あなたが解きたい範囲のところを読んでください。(そこにリンクが貼り付けてあります。)

【読むだけで全部マスターできる‼‼】数Bの確率・統計分野

ほかにも面白い記事がたくさんありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です。

それでは次の記事で‼‼

プロフィール

この記事を書いた人
tisikinohako

13歳から為替をはじめ、最近はAIを使って自動化するために、pythonを勉強中。

為替は、参考書やバイブルなどは一切読まず、基本エクセル分析だけで勝ってきました。

数学はフーリエ変換や、ベクトル解析など解析学を勉強中。

TwitterやYoutubeではめちゃくちゃすべったので、ブログで挽回しようと始めた結果、なんかうまくいったっぽいので続けてます。

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