初めに
今回は、数学オリンピック2018予選の問題の解答・解説をしていきたいと思います‼‼
ノーヒントで解いてみたいという方は、下のリンクをクリック‼‼
第28回(2018年)JMO予選の問題 (imojp.org)
また、この記事の最後に、「数学オリンピックの問題を解けるようになる方法」について解説していますので、興味がある方はそちらのほうも読んでいただければ光栄です。
注意
この記事では問1から問4までしか解説していません。
ほかの問題の解答・解説が気になる方は、下のリンクをクリック‼‼
それでは日本数学オリンピック予選2018の解答・解説を見ていきましょう‼‼
日本数学オリンピック予選2018 解答・解説 問1
問題：
J君が九九表に乗っている数(1以上9以下の整数2つの積としてあらわされる数)の中から5個を選んだところ、いずれも2桁であり、一の位または十の位に0,1,2,3,4,5,6,7,8,9がちょうど一度ずつ表れていることに気が付いた。J君が選んだ数のうち、一の位または十の位に5が表れているものを答えなさい。
ただし、2桁の数として十の位が０であるものはかんがえないものとする。
解答・解説：
これは、大きい数字とか奇数とから注目していくといいです。
まず9に注目します。
9は十の位にはならないので、9は一の位となります。
また、九九表にある数の中で9が一の位に来るものは49だけなので、一つ確定しました。
次に、7に注目していたいと思います。
もし、7が十の位だとすると、27しかなく、7が十の位だとしても、72しかないので、一つ確定します。(27でも72でもどっちにしろ使われている数は2と7だけなのでどっちでもいいです。)
次は、8に注目します。
もし、8が十の位だとすると、81しかなく、8が一の位だとすると、2と4が使われていることから、18(81)と分かります。
ここで、残っている数は、0,3,5,6ですが、0とペアになるものは3しかないので、5とペアになるものは6と分かります。
よって、もとめる答えは、56と分かります。
日本数学オリンピック予選2018 解答・解説 問2
問題：
1以上9以下の整数が書かれたカードが一枚ずつ、全部で9枚ある。これらを区別できない3つの箱に3枚ずつ入れる方法であり、どの箱についても、入っている3枚のカードに書かれている数を小さい順に並べると等差数列をなすものは何通りあるか。
ただし、3つの数a,b,cが等差数列をなすとは、b-a=c-bがなりたつことをいう。
解答・解説：
1が含まれている箱の等差の値で場合分けしていきたいと思います。
- 等差が1の時
1が含まれている箱に含まれている数は、(1,2,3)なので、残りの分け方は、{(4,5,6),(7,8,9)},{(4,6,8),(5,7,9)}の2通りとなります。
- 等差が2の時
1が含まれている箱に含まれている数は、(1,3,5)なので、残りの分け方は、{(2,4,6),(7,8,9)}の1通りとなります。
- 等差が3の時
1が含まれている箱に含まれている数は、(1,4,7)なので、残りの分け方は、{(2,5,8),(3,6,9)}の1通りとなります。
- 等差が4の時
1が含まれている箱に含まれる数は、(1,5,9)なので、残りの数の分け方は、{(2,3,4),(6,7,8)}の1通りとなります。
よって、もとめる通り数は、2+1+1+1より、5通りと分かります。
日本数学オリンピック予選2018 解答・解説 問3
問題：
四角形ABCDが、∠A＝∠B＝90°,∠C＝45°,AC＝19,BD＝15を満たすとき、その面積を求めよ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。
解答・解説：
AD=a,BC＝bとします。
この時、三平方の定理より、
a2+(b-a)2=225
b2+(b-a)2=361
であることから、差を取ることで、b2-a2=136がわかります。
よって、もとめる台形の面積は、
(a-b)×(a+b)×(1/2)=(b2-a2)×(1/2)＝68
より、68と分かります。
日本数学オリンピック予選2018 解答・解説 問4
問題：
11112018を11111で割った余りを求めよ。
解答・解説：
105≡100000≡1 (mod 11111)
であることから、
11112018≡(1111-11111)2018≡ 104×2018≡105×1614+2≡100 (mod 11111)
より、もとめる答えは、100とわかります。
数学オリンピックの問題を解けるようになるには
正直言って、数学オリンピックの問題ぐらいだったら(国際数学オリンピックの最終問題とか本選の最終問題とかを除いて)大体パターン化されているので、勉強さえしておいたら何とかなります。
というわけで、数学オリンピック対策でぜひ読んでおくべき本を紹介したいと思います‼‼
パーフェクトマスターシリーズ
これは、特定の分野をしっかり固めたい方にお勧めです。
大事な問題だけがセレクトされているので、その分野の問題をしっかり鍛えることができます。
初等整数を鍛えたい方にオススメ‼‼
これは、初等整数をマスターしたい方にお勧めです。
初等整数の問題はよく本選の大門１なんかで出題されることが多いので、そういった類の問題を解けるようになりたい方はこの本がおすすめです‼‼
平面幾何を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は平面幾何を鍛えたい方にオススメの本です。
「数学オリンピックの幾何の問題を解いていると、「こんな発想が出てくるわけないだろ！！」みたいな問題にあたることはよくあると思います。
この本を読むことで、そういう問題たちをすらすら解けるようになります‼‼
代数・解析を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は、代数、解析を鍛えたい方におススメの本です
数学オリンピックの問題の中でも、「絶対解けるか！！」みたいなレベルの問題って稀にあるじゃないですか。
こういう問題は、代数・解析の分野に入ることが多いです。
数学オリンピックで、難しい問題を解いてほかの受験生と差をつけたい方にはこの本をお勧めします‼
組み合わせ論を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は、組み合わせ論を鍛えたい方におススメの本です。
数学オリンピックの場合の数の問題は、ほかの分野に比べてそこまで難しい問題が出題されることはあまりないんですが、とにかくめちゃくちゃミスしやすいように巧妙に仕組まれています。
そんなミスしやすいポイントをしっかり克服するためにも、ぜひこの本は見ていただきたいです。
過去問をひたすら解きまくる
これも結構おすすめです。過去問を全部解いていれば、実質数学オリンピックに関係する問題を全部網羅したようなものなので、完璧にマスターしたい方にはこちらの方法をお勧めします‼‼
ほかにも過去問についてはいろんな著者がいろんな本を出版しているので、ぜひそちらの本も調べてみてください。(下リンク)
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また、息抜きに読書したいときにも役に立つので、ぜひこれは、使ってほしいです‼
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終わりに
いかがでしたか。
ほかにも数学オリンピックの解説している記事もありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です‼‼
それでは次の記事で‼
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