\超わかりやすい‼/日本数学オリンピック本選2018全問解説‼

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初めに

今回は、数学オリンピック2018本選の問題の解答・解説をしていきたいと思います‼‼

ノーヒントで解いてみたいという方は、下のリンクをクリック‼‼

第28回(2018年)JMO本選の問題 (imojp.org)

また、この記事の最後に、「数学オリンピックの問題を解けるようになる方法」について解説していますので、興味がある方はそちらのほうも読んでいただければ光栄です。

それでは日本数学オリンピック本選2018の解答・解説を見ていきましょう‼‼

日本数学オリンピック本選2018 解答・解説 問1

問題:

黒板に1以上100以下の整数が1つずつ書かれている。黒板から整数a,bを選んで消し、新たにa2b2+3とa3+b3+2との最大公約数を書くという操作を繰り返し行う。黒板に書かれている整数が1つだけになったとき、その整数は平方数でないことを示せ。

解答・解説:

これは定石通りです。

結構大事なので、ここで紹介させていただきます。

「平方数ではないことを証明せよ」の解き方

3つあって、その3つを紹介しようと思います。

剰余を使って解く

この問題もこれに当たるんですが、もっと簡単な例題で理解していただこうと思います。

nを自然数とするとき、3n-1が平方数でないことを証明せよ。

3で割った余りを考えると、3n-1は2なので、3n-1が平方数でないことは自明です。

こういう剰余で解くパターンは3,4,8,9が特に重要なので、ぜひ覚えておいてください‼‼

一つ差の平方数で挟み撃ちする

これは知らないと無理です。

nが自然数の時、n4+3n2+2が平方数でないことを証明せよ。

(n2+1)2<n4+3n2+2<(n2+2)2

より、自明です。

これも数学オリンピックでは頻出なので、ぜひ覚えておいてください。

帰納法で解く

これはガチで難しいやつに使われます。

いい例題が思いつかなくて申し訳ないんですが、解説書いていて登場したらその時紹介します‼

長くなってしまいましたが、この問題に移ろうと思います。

この問題は一番最初に紹介した剰余で解くパターンです。

3の倍数に注目すると、最大公約数が3の倍数となるのはa,b音どちらか一方のみが3の倍数の時です。

でも、この時、9の倍数にはなりません。

さらに、1から100までには3の倍数は33個あるので、最後の一つは必ず3の倍数であって、9の倍数でないものになります。

よって、そんな平方数は存在しないから、題意は満たされました。

解き方さえ分かってたら超簡単だったと思います。

日本数学オリンピック本選2018 解答・解説 問2

問題:

AB>ACなる三角形ABCの辺AB,AC上(端点を含まない)に点D,Eがあり、CA=CD,BA=BEを満たしている。三角形ADEの外接円をωとし、さらに直線BCに関してAと対称な点をPと置く。直線PDとωの交点のうちDではない方をX,直線PEとωの交点のうちEでない方をYとするとき、直線BXと直線CYがω上で交わることが示せ。

ただし、STで線分STの長さを表すものとする。

解答・解説:

まず、問題の条件から、下の図の色で示した角度が等しくなっていることから、D,B,P,C,Eは同一円周上にあることがわかります。

正しく図を書くことができるかが結構重要です。上の図では、P,D,Xという順番にしましたが、これがこの順になるとは限りません。

一応上のように図を描くことができることを証明しておこうと思います。

先ほど証明したことを使うと、

∠PDE=∠PBE=∠PBC+∠EBC=∠ABC+(∠AEB-∠ACB)=∠ABC+(∠CAB-∠ACB)=∠CAB+(∠ABC-∠ACB)

であることは容易に導かれます。

また、AC>ABという条件から、∠ABC>∠ACBがわかるため、∠PDE>∠CABが導かれます。

よって、接弦定理を使うことで、上の図のように書けることが証明されました。

ここからは超簡単です。

円周角の定理と円に内接する四角形の性質から、下の図で、同じ色の角度はすべて等しくなります。

よって、⊿AXY∽⊿ABCとなるため、⊿AYC∽⊿AXBが導かれます。

(わからなかったらコメント欄で‼)

BXとCYの交点をQとすると、B,X,Qと並ぶパターンの時は、先ほどの相似を使うことで、

∠AXQ=180°-∠AXB=180°-∠AYC=∠AYQ

となり、円周角の定理の逆から、Qがω上にあることは自明です。

B,Q,Xとなるパターンの時は、∠AXQ=∠AXB=∠AYCより、円に内接する四角形の性質より、Qがω上にあることは自明です。

よって、題意は満たされました。

日本数学オリンピック本選2018 解答・解説 問3

問題:

S={1,2,…,999}とおく。fはS上で定義されSに値を取る関数であり、任意のSの要素nに対して

が成り立つとする。この時、f(a)=aを満たすSの要素aが存在することを示せ。

ただし、fk(n)で、

を表すものとする。

解答・解説:

まず、簡単な数でやってみます。

S={1,2}とすると、下のパターンでも、成立することがわかります。

次に、S={1,2,3}とすると、下のように全部入れ替わっているパターンの時は絶対ダメになることがわかります。

この問題は、全部入れ替わっているパターンの時でも成立することがあるか?という問いと同じなので、そのようなパターンの有無を調べていけばいいことがわかります。

ちなみに、試行錯誤を進めると、4はできます。5はできません。

これってもしかして偶数奇数が関係あるのかな?という仮定に行きつきます。

日本数学オリンピック予選2021問8みたいに解き進めていきます。

私も、公式の解答と同じようにグループで分けていくことで、解くことができました‼

ただ、私の証明は公式の解答と見比べてみると、かなり穴が多すぎるので、公式の解答を写させていただきます。

それでは解答を見ていきましょう‼‼

まず、問題の条件から、fl(n)=nなる正の整数lが存在します。これの最小のものをl(n)とあらわすことにします。

これを使って、下の補題を示しておこうと思います。

補題

n∈Sとする。i,j≧0に対し、fi(n)=fj(n)とi≡j(mod l(n))は同値である。

補題の証明

i=s×l(n)+t(l(n)>t≧0),j=u×l(n)+v(l(n)>v≧0)と定めると、

t=vを示せばいいことがわかります。

また、l(n)の定義から、

fv(n)=fu×l(n)+v(n)=fj(n)=fi(n)=fs×l(n)+t(n)=ft(n)

が示されるため、v≧tと置くと、

fv-t(n)=fv+(l(n)-t)(n)=fl(n)-t(fv(n))=fl(n)-t(ft(n))=fl(n)(n)=n

が導かれます。

また、仮定より、0≦v-t<l(n)であることから、f0(n)=nより、v-t=0です。

よって、題意は満たされました。

次に、C(n)={fk(n)|k≧0}とし、このような形で表されるSの部分集合をサイクルとあらわすことにします。

この時、C(n)の要素の個数は、先ほど示したことからl(n)です。

具体例として、C(1)について考えたいと思います。

C(n)の定義より、

C(1)=n,f(n),f2(n),….

です。ここで、k=l(1)となった時を考えます。

この時、補題から、

n=f0(n)=fl(1)(n) {0≡l(1) (mod l(1))}

が導かれます。

こんな風に、kがl(1)以上になると、そこから先は重複していくだけなので、先ほどのことが成り立ちます。

また、もしサイクルの要素の個数が1となる場合の時、l(n)=1より、l(n)の定義から、

fl(n)(n)=f(n)=n

となります。

ここで、下の補題を示しておこうと思います。

補題2

各nはちょうど一つのサイクルに属す。

補題2の解答・解説

nは、C(n)に属すため、n∈C(m)(n≠m)として、C(m)=C(n)を示せばいいことがわかります。

仮定から、n=fi(m)となるような0≦i<l(m)があります。

また、f(n)=fi+1(m), f2(n)=fi+2(m)という風になっていくので、大きさl(m)=l(n)となるため、C(m)=C(n)となります。

よって、題意は満たされました。

ここまでくるとあとは楽です。

最初の補題と、問題の条件より、

n+f(n)+1≡nf(n)≡0 (mod l(n))

です。

ここで、大きさがnのサイクルの要素をそれぞれ、a1,a2…anとします。

この時、先ほどのサイクルの性質から、下のようになります。

よって、上のことから、下のどちらかは成り立つことがわかると思います。

これより、もし、l(n)が3より大きい奇数の時、a1≠al(n)となり、これは矛盾しています。

よって、サイクルの大きさは絶対に1か偶数と分かります。

しかし、999は奇数であることから、必ずサイクルの大きさが1であるようなサイクルが存在するため、題意は満たされました。

実は、この問題は、巡回置換というものを背景にしています。

これを知っていたらこの発想は自然に出てきたと思います。

日本数学オリンピック本選2018 解答・解説 問4

問題:

nを奇数とする。縦横に無限に広がるマス目があるとき、条件をすべて満たすように各マスに1,2,3のいずれかの数をちょうど1つずつ書き込むことはできないことを示せ。

  • 辺を共有して隣り合うマスに同じ数字は書かれていない
  • 縦または横に連続したどの3×1または1×3のまず目にも、上、下、左または右から順に1,2,3と書かれていない。
  • n×nのマス目に書かれた数の総和は位置によらずすべて等しい。

解答・解説:

問題の条件すべてを満たす書き込み方が存在するとして矛盾を導いていきたいと思います。

あるますを、(0,0)とし、整数x,yに対して、そのマスから右にxマス、上にyマス進んだ先にあるマスをf(x,y)とします。

まず、f(x,y)=2のとき、f(x-1,y)=f(x,y-1)=f(x,y+1)=f(x+1,y)が成り立つことを示します。

問題の上2つの条件から、f(x-1,y)=f(x,y-1),f(x,y+1)=f(x+1,y)が成り立つので、f(x,y+1)≠f(x+1,y)の時矛盾することを示せばいいことがわかります。

↑こんな感じにならないことを示せばいいです。

ここで、(x,y)=(0,0),f(0,1)=3,f(1,0)=1とすると、上の図を見てもらえれば分かると思いますが、f(1,1)=2となります。

ここで、以下の補題を示しておきます。

補題

整数s,tが、f(s,t)=2,f(s,t+1)=3,f(s+1,t)=1,f(s+1,t+1)=2を満たすとき、

  1. f(s+2,t)=2,f(s+2,t+1)=3,f(s+3,t)=1,f(s+3,t+1)=2が成り立つ。
  2. f(s,t+2)=2,f(s,t+3)=3,f(s+1,t+2)=1,f(s+1,t+3)=2が成り立つ。

補題の証明

パズルみたいで面白いです。

まず、下の状態になっています。

次に、1,2,3と並んだらダメなので、したのようになります。

隣同士で同じ値になってはいけないことから、下のようになります。

また同様に、1,2,3となってはいけないことから、下のようになります。

そして、先ほどと同様に下のように埋めることができます。

この状態は明らかに問題の条件を満たしていなさそうですね…

一応確認しておきましょう‼‼

nが奇数であることから、

となります。

感覚的に理解したい方のために補足しておくと、上の計算は、下の赤の合計と青の合計を比べるときに、「緑のところを注目するだけでいいよね」っていうだけの話です。

×1,×2とかをしているのは、縦で232323…と並んでいるのと、121212…と並んでいるものがあるからです。

これは、問題の条件の

に矛盾しています。

よって、一番最初の、f(x,y)=2とした時の、f(x-1,y)=f(x,y-1)=f(x,y+1)=f(x+1,y)が示されました。

これと、問題の条件から、任意のマス(x,y)について、下のうちのどちらかが成立することが導けます。

  1. f(x-1,y),f(x,y-1),f(x,y+1),f(x+1,y)はいずれもf(x,y)よりも小さい。
  2. f(x-1,y),f(x,y-1),f(x,y+1),f(x+1,y)はいずれもf(x,y)よりも大きい。

これは言うまでもなく当たり前です。

また、1を満たすマスと、1を満たすマスは隣り合わないので、1を満たすマスと2を満たすマスは交互に並んでいることがわかります。

また、先ほどの理屈で、

が成り立ち、問題の条件から、上の式の左辺は0です。

よって、右辺に注目すると、

f(x,y)+f(x+n,y+n)=f(x,y+n)+f(x+n,y)

がわかります。

また、f(x,y)が1を満たすときは、nが奇数であることから、f(x+n,y+n)も1を満たし、f(x,y+n)+f(x+n,y)は2を満たすことがわかります。

なので、

2+2≦f(x,y)+f(x+n,y+n)=f(x,y+n)+f(x+n,y)≦2+2

がわかるため、

f(x,y)=f(x+n,y+n)=f(x,y+n)=f(x+n,y)=2

となってしまいます。いうまでもなくこれは明らかにおかしすぎるので、題意は満たされました。

日本数学オリンピック本選2018 解答・解説 問5

問題:

Tを正の整数とする。正の整数2つの組に対して定義され正の整数値を取る関数fと整数C0, C1, …, CTであって、以下を満たすものを全て求めよ。

  • 任意の正の整数nに対し、f(k,l)=nなる正の整数の組(k,l)はちょうどn個存在する。
  • t=0,1,….,Tと任意の正の整数の組(k,l)について、f(k+t,l+T-t)-f(k,l)=CTが成り立つ。

解答・解説:

この問題はたぶん部分点すら渡す気ないと思います。

考えてもわからなかったので、数学オリンピックの公式の解答(下の本)を見ることに…

答えを見たら、「あー」とはなりますが、「どっからその発想出てくるんだよ!」ってレベルだったので、この問題を初見で解いた受験生がもしいたら本当に尊敬します。

証明

a=CT,b=C0と置きます。a≦0のとき、

f(1,1)≧f(T+1,1)≧f(2T+1,1)≧…

となります。

しかし、条件より、ある整数nに対して、f(mT+1,1)=nとなる 正の整数mが無数に存在してしまうため、これは矛盾です。(無限降下法みたいな考え方です。)

よって、a>0であり、同様にb>0です。

ここで、正の整数の組(k,l)に対して、g(k,l)=f(k,l)-(a/T)k-(b/T)kと置くと、g(k+T,l)=g(k,l),g(k,l+T)=g(k,l)となります。

g(k,l)=f(k,l)-(a/T)k-(b/T)k={f(k,l)+a}-{(a/T)k+a}-(b/T)k={f(k,l)+CT}={f(k+T,l)-CT+CT}-(a/T)(k+T)-(b/T)k=f(k+T,l)-(a/T)(k+T)-(b/T)k=g(k+T,l)

より自明です。

よって、正の整数の組(k0,l0)を1≦k0≦T,1≦l0≦Tであってk-k0,l-l0がそれぞれTの倍数になるようにとると、g(k,l)=g(k0,l0)が成立します。

なので、Rを1≦p≦T,1≦q≦Tを満たす正の整数の組(p,q)についての|g(p,q)|の最大値より大きい整数とすると、|g(k,l)|=|g(k0,l0)|≦Rであり、

が成立します。

今、正の整数nに対して、p(n)で、(a/T)k+(b/T)l≦abnとなるような正の整数の組(k,l)の個数を表すものとします。

p(n)は座標平面上で(0,0),(bnT,0),(0,anT)を頂点に個持つ三角形の内部または(0,anT)と(bnT,0)を結ぶ線分上の端点以外にある格子点の個数に等しいです。(数学オリンピックだけでなく入試でも頻出‼‼)

これにより、2p(n)は(0,0),(bnT,0),(bnT,anT),(0,anT)を頂点に持つ長方形の内部に含まれる格子点の個数と、(0,anT)と(bnT,0)を結ぶ線分上の端点以外の格子点の個数の和に等しいため、

が成立します。(線分上に格子点がないときを考えます。もうちょっと詳しく解説してほしい方はコメ欄で‼)

abn-R>0となるとき、f(k,l)≦abn-Rとなる正の整数の組(k,l)の個数は、問題の条件から、

に等しいです。

f(k,l)=abn-Rとなるとき、abn-R個、f(k,l)=abn-R-1となるとき、abn-R-1個といった風になっていくため、もとめる個数は、1~abn-Rまでの和となるため、上のようにあらわされます。

そのような(k,l)については、先ほどの

より、(a/T)k+(b/T)l≦abnが成立するため、

が得られます。

この不等式の両辺に対して、nについての多項式としてみたとき(数学オリンピックではよく出てくる発想です‼‼)、いずれも2次式であり、左辺のn2の係数は、(a2b2)/2であり、右辺のn2の係数は (abT2)/2です。

nはどこまでも大きくとることができるため、 (a2b2)/2≦(abT2)/2、つまり、ab≦T2です。

同様のことをabn+Rに対しても行うことで、ab≦T2が得られます。

よって、T2=abが導かれます。

ここまで来たら凡人でも解けます。

任意のk,lに対して、

m=-CT-1+CTとおくと、

が成り立ちます。

T2=abをもう一度使うことで、T2=b(Tm+b)、つまり、T2-bmT-b2=0です。

さらに、判別式から、b2(m2+4)が平方数であることがわかります。

よって、m2+4が平方数と分かりますが、二つの平方数の差が4となるのは、0と4の時のみなので、m=0が確定します。

また、先ほどの変形過程にあったものを使うと、

f(k,T+l)-f(k+T,l)=0 (m=0より自明。)

つまり、

f(1,i)=f(2,i-1),…,=f(i,1)

がなりたちます。

証明過程で使ったような感じでf(k,l)≦nとなるようなkとlの個数は、k+l≦n+1となるようなkとlの個数と等しいです。

よって、f(k,l)≦n⇔k+l≦n+1が成り立ちます。ここで、n=1の場合を考えると、f(1,1)=1となり、帰納的に任意のk,lに対してf(k,l)=k+l-1と分かります。

また、Cについては、先ほどのm=0から、

C1=C2=…=CT

となることは自明です。

この問題、ここ数年の中でも、結構難しいほうだと思います。

これを初見で解ける受験生がいたら普通にすごいと思います。

これで、問題の解説は終了です。

ほかの年の問題の記事や、予選とかの問題の解説をしている記事もありますので、そちらの方も見ていただければ嬉しいです。

また、数学オリンピックの問題を解けるようになりたい方は、ぜひ、下のところを読んでください‼‼

数学オリンピックの問題を解けるようになるには

正直言って、数学オリンピックの問題ぐらいだったら(国際数学オリンピックの最終問題とか本選の最終問題とかを除いて)大体パターン化されているので、勉強さえしておいたら何とかなります。

というわけで、数学オリンピック対策でぜひ読んでおくべき本を紹介したいと思います‼‼

パーフェクトマスターシリーズ

これは、特定の分野をしっかり固めたい方にお勧めです。

大事な問題だけがセレクトされているので、その分野の問題をしっかり鍛えることができます。

初等整数を鍛えたい方にオススメ‼‼

これは、初等整数をマスターしたい方にお勧めです。

初等整数の問題はよく本選の大門1なんかで出題されることが多いので、そういった類の問題を解けるようになりたい方はこの本がおすすめです‼‼

平面幾何を鍛えたい方にオススメ‼‼

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「数学オリンピックの幾何の問題を解いていると、「こんな発想が出てくるわけないだろ!!」みたいな問題にあたることはよくあると思います。

この本を読むことで、そういう問題たちをすらすら解けるようになります‼‼

代数・解析を鍛えたい方にオススメ‼‼

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数学オリンピックの問題の中でも、「絶対解けるか!!」みたいなレベルの問題って稀にあるじゃないですか。

こういう問題は、代数・解析の分野に入ることが多いです。

数学オリンピックで、難しい問題を解いてほかの受験生と差をつけたい方にはこの本をお勧めします‼

組み合わせ論を鍛えたい方にオススメ‼‼

下の本は、組み合わせ論を鍛えたい方におススメの本です。

数学オリンピックの場合の数の問題は、ほかの分野に比べてそこまで難しい問題が出題されることはあまりないんですが、とにかくめちゃくちゃミスしやすいように巧妙に仕組まれています。

そんなミスしやすいポイントをしっかり克服するためにも、ぜひこの本は見ていただきたいです。

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終わりに

いかがでしたか。

ほかにも数学オリンピックの解説している記事もありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です‼‼

それでは次の記事で‼

プロフィール

この記事を書いた人
tisikinohako

13歳から為替をはじめ、最近はAIを使って自動化するために、pythonを勉強中。

為替は、参考書やバイブルなどは一切読まず、基本エクセル分析だけで勝ってきました。

数学はフーリエ変換や、ベクトル解析など解析学を勉強中。

TwitterやYoutubeではめちゃくちゃすべったので、ブログで挽回しようと始めた結果、なんかうまくいったっぽいので続けてます。

このブログを応援していただければ光栄です。