初めに
この記事は下のリンクの記事の補足内容となっております。基礎からしっかり学びたい方や、基本をもう一度復習したい方はぜひ下の記事を読んでからみてください。
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それでは公式と証明を見ていきましょう‼‼
分散の基本公式
分散の基本公式は上のリンクでも述べたとおり、下のようになります。
分散:V(X)=E(X²)-{E(X)}²
つまり、
Xの分散＝(X²の期待値)-(Xの期待値)²
が成り立ちます。
この公式の証明をしていきます。
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分散の基本公式の証明
まず、分散の定義と、二次方程式の展開を使うことで、下のように変形することができます。
次に、Σの基本定理より、下のように変形できます。
最後に、
の値が表しているものは、Xの期待値つまり、ｍであることに注意すると、下のように変形できます。
ここで、mはXの期待値であり、
の値が示しているものは、X²の期待値なので、まとめると、下の公式が導き出されます。
Xの分散＝(X²の期待値)-(Xの期待値)²
これで証明完了です。
終わりに
確率分布・確率変数の範囲以外の確率・統計分野についてもっと知りたい方は、ぜひ、下のリンクの記事を読んでください。
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それでは次の記事で‼‼
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