初めに
今回は、数学オリンピック2020の問題の解答・解説をしていきたいと思います‼‼
ノーヒントで解いてみたいという方は、下のリンクをクリック‼‼
第30回(2020年)JMO予選の問題 (imojp.org)
また、この記事の最後に、「数学オリンピックの問題を解けるようになる方法」について解説していますので、興味がある方はそちらのほうも読んでいただければ光栄です。
注意
この記事では、日本数学オリンピック2020の問題のうち、問1から問4までしかしていません。
ほかの問題の解答・解説が気になる方は、下のリンクをクリック‼‼
それでは日本数学オリンピック予選2020の解答・解説を見ていきましょう‼‼
日本数学オリンピック予選2020 解答・解説 問1
問題：
千の位と十の位がともに2であるような4桁の正の整数のうち、7の倍数はいくつあるか。
解答・解説：
100の位を適当にa、1の位をbとします。
このとき、2020＋100×a＋bが7の倍数になることから、
より、2a+b+4が、7の倍数であればいいことがわかります。
よって、aを7で割った余りと、bを7で割った余りの組み合わせは下のようになります。
| aを7で割った余り | bを7で割った余り |
| 0 | 3 |
| 1 | 1 |
| 2 | 6 |
| 3 | 4 |
| 4 | 2 |
| 5 | 0 |
| 6 | 5 |
よって、7で割った余りが0,1,2である1桁の整数は2個、それ以外の場合は1個あるから、答えは、
2×1＋2×2＋2×1＋1×1＋1×2＋1×1＝14
より、 答えは、14個と分かります。
日本数学オリンピック予選2020 解答・解説 問2
問題：
下の図のように一辺の長さが1の正六角形ABCDEFがあり、線分ABの中点をGとする。せいろ角形の内部に点Hを取ったところ、三角形CGHは、正三角形となった。この時、三角形EFHの面積を求めよ。
解答・解説：
下のように、この正六角形の対角線の交点(中心)を、Ｏと置きます。
この時、∠BCO=∠GCH＝60°より、∠BCG=∠OCHであることがわかります。
また、CH=CG、BC＝OCであるから、⊿BCG≡⊿OCHがわかります。
これによって、∠BOH＝∠BOC＋∠COH＝180°がわかるため、B,O,H,Eが一直線にあることがわかります。
また、HE＝OE-OH＝1－BG＝1/2より、⊿FHEの面積は、一辺が1の正三角形の面積の半分であることが導き出されます。
よって、よって、答えは、
です。
日本数学オリンピック予選2020 解答・解説 問3
問題：
２×３のマス目の各マスに１以上６以下の整数を重複しないように１つずつ書き込む。辺を共有して隣り合うどの２マスについても書き込まれた整数が互いに素になるように書き込む方法は何通りあるか。ただし、回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える。
解答・解説：
まず、約数の数が一番多く、最も大きな数である「６」に注目したいと思います。
６と互いに素である数は、1,5だけなので、6は四隅のどこかに入ることがわかります。
ここで、6が下の位置に入ると仮定します。
このとき、偶数が入る場所に注目することで、下のどちらかしかありえないことがわかります。
また、それぞれの場合において、3の場所は左上の隅であることがわかるため、1,5を埋める方法は2とおりであることから、結局、6を右下の隅に置いた時の通り数は4通りであることがわかります。
よって、隅は4つあることから、求める通り数は4×4より、16とおりであることがわかります。
日本数学オリンピック予選2020 解答・解説 問4
問題：
正の整数nであって、n2とn3の桁数の和が8であり、 n2とn3 の各桁合わせて1以上8以下の整数がちょうど1個ずつ表れているようなものを全て求めよ。
解答・解説：
まず、 n2の桁数は3で、n3の桁数が5であることは容易にわかります。
また、21以下のnについて、
が成り立ち、
32以上のnについて、
が成り立つため、
がわかります。
また、
n = 25,26,30,31
のとき、 n2とn3の一の位がかぶってしまうため、成立しません。
さらに、
n = 23,27,29
の時、一の位に9が表れてしまうため、これも問題の条件を満たしません。
なので、残った、22,24,28で計算してみると、
222 = 484 223 = 10648
242 = 576 243 = 13824
282 = 784 283 = 21952
となり、24のみが問題の条件を満たすため、もとめるnの値は、24となります。
数学オリンピックの問題を解けるようになるには
正直言って、数学オリンピックの問題ぐらいだったら(国際数学オリンピックの最終問題の中でもさらにムズいやつとか本選の最終問題とかを除いて)大体パターン化されているので、勉強さえしておいたら何とかなります。
というわけで、数学オリンピック対策でぜひ読んでおくべき本を紹介したいと思います‼‼
パーフェクトマスターシリーズ
これは、特定の分野をしっかり固めたい方にお勧めです。
大事な問題だけがセレクトされているので、その分野の問題をしっかり鍛えることができます。
初等整数を鍛えたい方にオススメ‼‼
これは、初等整数をマスターしたい方にお勧めです。
初等整数の問題はよく本選の大門１なんかで出題されることが多いので、そういった類の問題を解けるようになりたい方はこの本がおすすめです‼‼
平面幾何を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は平面幾何を鍛えたい方にオススメの本です。
「数学オリンピックの幾何の問題を解いていると、「こんな発想が出てくるわけないだろ！！」みたいな問題にあたることはよくあると思います。
この本を読むことで、そういう問題たちをすらすら解けるようになります‼‼
代数・解析を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は、代数、解析を鍛えたい方におススメの本です
数学オリンピックの問題の中でも、「絶対解けるか！！」みたいなレベルの問題って稀にあるじゃないですか。
こういう問題は、代数・解析の分野に入ることが多いです。
数学オリンピックで、難しい問題を解いてほかの受験生と差をつけたい方にはこの本をお勧めします‼
組み合わせ論を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は、組み合わせ論を鍛えたい方におススメの本です。
数学オリンピックの場合の数の問題は、ほかの分野に比べてそこまで難しい問題が出題されることはあまりないんですが、とにかくめちゃくちゃミスしやすいように巧妙に仕組まれています。
そんなミスしやすいポイントをしっかり克服するためにも、ぜひこの本は見ていただきたいです。
過去問をひたすら解きまくる
これも結構おすすめです。過去問を全部解いていれば、実質数学オリンピックに関係する問題を全部網羅したようなものなので、完璧にマスターしたい方にはこちらの方法をお勧めします‼‼
ほかにも過去問についてはいろんな著者がいろんな本を出版しているので、ぜひそちらの本も調べてみてください。(下リンク)
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終わりに
いかがでしたか。
ほかにも数学オリンピックの解説している記事もありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です‼‼
それでは次の記事で‼
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