【難問揃い!】日本数学オリンピック予選2019全問解説‼

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初めに

今回は、数学オリンピック2019予選の問題の解答・解説をしていきたいと思います‼‼

ノーヒントで解いてみたいという方は、下のリンクをクリック‼‼

第29回(2019年)JMO予選の問題 (imojp.org)

また、この記事の最後に、「数学オリンピックの問題を解けるようになる方法」について解説していますので、興味がある方はそちらのほうも読んでいただければ光栄です。

注意

この記事では、日本数学オリンピック2019の問題のうち、問9から問12までしかしていません。

ほかの問題の解答・解説が気になる方は、下のリンクをクリック‼‼

まずは基本! 問1~問4の解説はこちら‼‼
本戦への分かれ目‼‼ 問5~問8の解答解説はこちら‼‼

それでは日本数学オリンピック予選2019の解答・解説を見ていきましょう‼‼

日本数学オリンピック予選2019 解答・解説 問9

問題:

これは問9の割には意外と簡単です。

ちょっと説明が下手なので、ちょっとわかりにくいかと思いますが、そこのところは許してください。

手を動かしてみるとわかりやすいかもしれません。

これは、プログラミングをやってたら、出てくるやつで、ビット演算に関する問題です。

例えば、下のように各色を定めます。

  • 赤=(1,1)
  • 青=(1,0)
  • 緑=(0,1)
  • 黄=(0,0)

この時、問題の条件を満たすことは、その行や列の合計が2で割り切れることと同値です。

なので、列で3つ決まっていたら、残り一つは一意に確定することがわかります。

よって、最初に9個決まっていたら、残りは勝手に決まることがわかります。

以上より、もとめる答えは、

49=262144

より、262144とおりであることがわかります。

日本数学オリンピック予選2019 解答・解説 問10

問題:

三角形ABCおよび辺AB,AC上の点D,Eについて、AB=6、AC=9、AD=4、AE=6が成り立っている。また、三角形ADEの外接円が辺BCと2点F,Gで交わっている。また、三角形ADEの外接円が辺BCと2点F,Gで交わっている、ただし、4点B,F,G,Cはこの順に並んでいる。直線DFとEGが三角形ABCの外接円上で交わるとき、FG/BCの値を求めよ。なお、XYで線分XYの長さを表すものとする。

解答・解説:

図を描くと、下のようになります。

さらに、下のように点H,I,J、Kを取ります。

この問題は別にそこまで大した発想力入りません。

方べきの定理でごり押したら、気づいたら解けていたといった感触です。

それではやっていきましょう‼

まず、AD:AB=AE:AC=2:3なので、DE//BCであることがわかります。

さらに、もとめる値をxとします。

この時、

1:x=BC:FG=BC(FJ/FG):FG(FJ/FG)=BC(DK/DE):FJ=BC(BJ/BC):FJ=BJ:FJ

となります。

同様にして、

CJ:GJ=1:x

であることもわかります。

ここで、誰もが、「円がいっぱいあるから方べきの定理そろそろ使いたいな」と思うはずです。

なので、先ほどのことを使うことで、

1:x2=CJ×BJ:FJ×GJ=AJ×JH:AJ×JI=JH:JI

と分かります。

ここで、少し発想力がいります。⊿ADEを1.5倍に拡大したものが、⊿ABCなので、それぞれの三角形の外接円についても、これが言えます。

だから、AI:IH=2:3となります。

だから、これらのことから、

AK:KJ:JI:IH=4-6x2:2-3x2:3x2:3-3x2

と分かります。

これがわかったらあとは簡単です。

BC:FG=1:x=(3/2)×DE:FG=(3/2)×(5-3x2):3=5-3x2:2

より、

x(5-3x2)=2

と分かります。よって、

-3x3+5x-2=-(x-1)(3x2+3x-2)=0

と分かります。しかし、x>0で、x=1だとBC=FGとなってしまうため、

と分かります。なので、もとめる答えは、

です。

この問題は、AI:IH=2:1と求めるところが少し難しかったかと思います。

日本数学オリンピック予選2019 解答・解説 問11

問題:

k=1,2 …20193に対して、正の整数mであって、kmを20193で割った余りがmよりも大きいものの個数をf(k)とする。このとき、f(1),f(2)…f(2019)3に現れる数は何種類あるか。

解答・解説:

これは試していけばわかると思います。

ただ、20193で試していくのはしんどいので、100でやってみます。

もし、20193じゃなくて100だとすると、

f(1)=0

f(2)=100/2-1=49

f(3)=33+(66-51+1)=49

f(4)=24+(49-34+1)+(74-67+1)=48

f(5)=19+(39-26+1)+(59-51+1)+(79-76+1)=46

f(6)=16+(33-21+1)+(49-41+1)+(66-61+1)+(83-81+1)=47

f(7)=14+(28-17+1)+(42-34+1)+(56-50+1)+(71-67+1)+(85-84+1)=49

という風になります。

大体、49ぐらいになりそうですね。

だから、その例外っぽいやつが何種類あるか調べたら答えにたどり着くことがわかります。

上の規則性を考えると、1から14で成り立っているときは、86から100では成り立っていなくて…みたいな対称性がありそうです。

この過程をもとに解いていきます。

x=20193とし、x未満のmについて、kmをxで割った余りを、R(m)とあらわすことにします。

この時、

R(x-m)=x-R(m)

なので、

-(R(x)-m)=R(x-m)-(x-m)

と分かります。

よって、

  • R(m) ≠ 0,mの時

R(m)>mと、R(x-m)>x-mのうちのどちらかが一方のみが成り立ちます。

  • R(m) = 0,mの時

R(m)>mと、R(x-m)>x-mのどちらとも成り立たちません。

であることがわかります。

さらに、 R(m) = 0,mとなるmとなるmの個数をg(k)とします。

この時、20193が奇数であることから、

であることがわかります。これがわかるとあとは結構楽です。

まず、 R(m) =0 となるmの個数は、kmがxの倍数になるようなmの個数と等しく、 R(m) =mとなるようなmは、(k-1)mがxの倍数となるようなmの個数と等しいです。

さらに、kmがxの倍数になるようなmの個数は、mが

の倍数となるmの個数と等しく、(k-1)mがxの倍数になるようなmの個数はmが

の倍数となるmの個数と等しいです。

よって、R(m)=0となるようなmの個数は、m<xより、

個であり、R(m)=mとなるようなmの個数は、m<xより、

個であることがわかります。

以上のことから、

g(k)=gcd(k,x)+gcd(k-1,x)-2

と分かります。

ここで、 gcd(k,x)、gcd(k-1,x)はどちらもxの約数であり、互いに素であるので、 gcd(k,x)、gcd(k-1,x) のどちらかが2019の倍数の時は、もう一つは1となります。

そのため、 gcd(k,x)、gcd(k-1,x) のどちらかが2019の倍数の時は、2019の倍数であるようなkを用いて、g(k)=k-1となります。

また、 gcd(k,x)、gcd(k-1,x) がどちらも2019の倍数でないとき、それぞれ、3のべき乗と673のべき乗です。なので、kは、

  • k≡3i (mod 33)
  • k≡673j+1 (mod 6733)

(i,jはともに0以上3以下。)

を満たすものと表すことができます。さらに、中国剰余定理よりkは一意的に定まります。

以上より、もとめる答えは、3×3+4×4=25より、25種類であることがわかります。

日本数学オリンピック予選2019 解答・解説 問12

問題:

S={1,2…6}とおく。Sの部分集合Xに対してSの部分集合F(X)に対応付ける規則Fであって、任意のSの部分集合A,Bに対してF(F(A)⋃B)=A⋂F(B)を満たすものはいくつあるか。

解答・解説:

この問題は難しくて全然わかりませんでした。

集合論は数学の中でも、結構苦手な分野なので、こんな難しい問題とけないです。

なので、下の本に乗っている解答を写させていただきます。

解き方の方針としては、空集合とかを代入して、Fが全単射であることを示した後、Fがどんな性質を満たすのか見ていくような感じだと思います。

Fが全単射であることの証明

これは、そこまで難しくないです。空集合を代入していっているうちに分かります。

C⊂Sで、F(φ)=Cとなるパターンを考えます。

この時、問題の式のAにφを代入した時、F(C ⋃ B)=φとなるため、 C⊂Aならば、F(A)=φと分かります。

ここで、AにCを代入した時、F(B)=C⋂F(B)となるため、任意のAに対して、F(A)⊂Cが成り立ちます。

次は、Bにφを代入してみます。

この時、F(F(A))=A⋂Cと分かります。さらに、これのAをF(A)に置き換えたら、

F(F(F(A)))=F(A)⋂C=F(A)

となります。さらに、先ほどの式の両辺にどちらもFの中に入れると、

F(F(F(A)))=F(A⋂C)

と分かります。よって、これら二つのことから、

F(A)=F(A⋂C)

が導かれます。なので、FはCの部分集合がどう移動するかで決定されます。というわけで、Cの部分集合について考えていきます。

Cの任意の部分集合X,Yに対して、

F(F(X) ⋃ Y)=X⋂F(Y)

は成り立っているとします。ここで、X=A⋂C,Y=B⋂Cとして

F(F(A) ⋃ B)=F((F(X) ⋃ B)⋂C)=F(F(X) ⋃ Y)=X⋂F(Y)=(A⋂C)⋂F(B)=A⋂F(B)

と、問題の式が成立しているため、Cの部分集合から、Cの部分集合に対応しているようなFを見つければいいことがわかります。

F(F(A))=A⋂C より、先ほどのXを使うことで、F(F(X))=Xと分かります。

なので、先ほどのことから、Fは全単射であることがわかります。

これで、Fが全単射であることの証明は完了です。

全単射がわかってから問題を解くまで

Fが全単射と分かってからが難しいです。

まず、

F(F(X) ⋃ Y)=X ⋂ F(Y)

のXを、F(X)に置き換えると、

F(X ⋃ Y)=F(X) ⋂ F(Y)

が得られます。ここで、X⊂Yとすると、F(Y)=F(X)⋂F(Y)なので、F(X)⊃F(Y)と分かります。

よって、これらのことから、X=φから始めてXにC \ Xの要素を一つずつ追加していくことと、F(X)の要素数は狭義単調減少することがわかります。

また、これはCの要素数だけ行うことができるので、この要素数は、

Cの要素数-1

であることがわかります。よって、x∈Cとすると、F({x})には含まれないCの要素がちょうど一つ存在します。

これは、CからCへの写像fを用いて、f(x)とあらわせます。

また、Fが単射ということから、fも単射であり。Cが有限集合であることから、fは全射でもあることがわかります。

ここで、F(F(X))=XのXにφを代入した時、F(C)=φが成り立つので、

F(F(X) ⋃ Y)=X ⋂ F(Y)

で、X={X}、Y={f(x)}とすると、左辺がφとなることから、

x∉C \ {f(f(x))}

となり、f(f(x))=xが得られます。

これを、X={x1,x2…xk}について行うと、

F(x)=C \ {f(x1)…f(xk)}

が得られます。また、逆に、上のように定義されるFは、F(F(X))=Xおよび、F(X ⋃ Y)=F(X) ⋂ F(Y)を満たしています。

よって、長くなりましたが、F(φ)=CとなるようなFの個数は、f(f(x))=xとなるようなCからCへの写像と等しいです。

つまり、この問題を解くことは、これを満たすfの個数と同じです。

これは、f(x)=y、f(y)=xとなるようなx、yのペアを定めればよく、ペアに入らないものは、f(z)=zとすればいいです。

よって、ペアを最初にいくつか作り、残りをCの要素にするかどうかを決める通り数を求めればいいことになるため、もとめる答えは、

6C0×26+6C2×24+6C4×3×2+6C6×5×3=499

より、499個と分かります。

めちゃくちゃ難しかったです。(私が集合論が苦手なせいかな…)

特に、Fをfにつなげていくところがなかなか難しかったです。

Fが全単射なのぐらいは初見でも分かったんですけど、そっから先が思いつきませんでした。(解説はほとんど公式の解説を移させていただいています。)

この問題は、数ある集合の問題の中でも良問だと思います。

これで、数学オリンピック2019予選の解答・解説は完了です‼

↓ほかの問題はこちらから!

まずは基本! 問1~問4の解説はこちら‼‼
本戦への分かれ目‼‼ 問5~問8の解答解説はこちら‼‼

数学オリンピックの問題を解けるようになるには

正直言って、数学オリンピックの問題ぐらいだったら(国際数学オリンピックの最終問題とか本選の最終問題とかを除いて)大体パターン化されているので、勉強さえしておいたら何とかなります。

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初等整数を鍛えたい方にオススメ‼‼

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終わりに

いかがでしたか。

ほかにも数学オリンピックの解説している記事もありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です‼‼

それでは次の記事で‼

プロフィール

この記事を書いた人
tisikinohako

13歳から為替をはじめ、最近はAIを使って自動化するために、pythonを勉強中。

為替は、参考書やバイブルなどは一切読まず、基本エクセル分析だけで勝ってきました。

数学はフーリエ変換や、ベクトル解析など解析学を勉強中。

TwitterやYoutubeではめちゃくちゃすべったので、ブログで挽回しようと始めた結果、なんかうまくいったっぽいので続けてます。

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