初めに
今回は、数学オリンピック2019予選の問題の解答・解説をしていきたいと思います‼‼
ノーヒントで解いてみたいという方は、下のリンクをクリック‼‼
第29回(2019年)JMO予選の問題 (imojp.org)
また、この記事の最後に、「数学オリンピックの問題を解けるようになる方法」について解説していますので、興味がある方はそちらのほうも読んでいただければ光栄です。
注意
この記事では問1から問4までしか解説していません。
ほかの問題の解答・解説が気になる方は、下のリンクをクリック‼‼
それでは日本数学オリンピック予選2019の解答・解説を見ていきましょう‼‼
日本数学オリンピック予選2019 解答・解説 問1
問題：
正の整数の組(x,y,z)であって、
x+xy+xyz=31 (x<y<z)
となるものを全て求めよ。
解答・解説：
x+xy+xyz=x(1+y+yz)なので、xは、1と分かります。
よって、y+yz=y(1+z)=31-1より、30の約数に注目することで、もとめる答えは、
(x,y,z)=(1,2,14), (1,3,9)
であることがわかります。
日本数学オリンピック予選2019 解答・解説 問2
問題：
どの桁も素数であるような正の整数を良い数という。3桁の良い数であって、2乗すると、5桁の良い数になるものを全て求めよ。
解答・解説：
まず、1の位に注目します。下の表より、1の位が５であることは容易にわかります。
| 1の位 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 2乗した後の数の一の位 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
また、
316×316＝99856,317×317＝100489
より、(ここまで厳密じゃなくても、320よりも小さいことを示せば十分です。)元の3桁の数の百の位は2であることがわかります。
以上より、もとめる3桁の数は、225,235,255,275のいずれかであることがわかります。
また、それらの数をそれぞれ2乗した数の値は、50625,55225,65025,75625なので、答えは、235のみだとわかります。
日本数学オリンピック予選2019 解答・解説 問3
問題：
3×3のマス目の各マスに1以上9以下の整数を重複しないように1つずつ書き込む。辺を共有して隣り合うどの2マスについても書き込まれた整数の差が3以下になるように書き込む方法は何通りあるか。ただし、回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える。
解答・解説：
こういう問題を見たときは、理論から入るのではなく、まずは試してみることが一番だと思います。
9や1が真ん中に入らないことは誰でもわかるので、今回は真ん中に2を入れて実験してみたいと思います。
すると、下のように、どんだけ頑張っても入れられる数としては7が最大で、この時、数が重複してしまいます。
簡単に計算してもらえれば分かりますが、真ん中にxを入れた時、9マスに書き込める数は絶対にx-5以上x+5以下です。
よって、真ん中に入る数は、4,5,6のどれかであることがわかります。
なので、今から真ん中に入る数が4，5，6の時でそれぞれ場合分けしていこうと思います/。
真ん中に入る数が4の時
9，8を下のように配置することはできません。
なので、9，8を下のように配置すると仮定します。
この時、6と7の場所は、下のどちらかですが、左の場合だと、7の左のマスも8の左のマスもどちらかのマスにも5しか入ることができないことから、右のみだとわかります。
また、この場合の時、残りのマスの埋め方は、下の1通りしかありません。
以上より、真ん中に4を入れたときは、9と8の場所を決めれば一つに決まるので、2×4通りあることがわかります。
真ん中に入る数が5の時
下のように、9の場所を右下と仮定すると、1は絶対左上しかありえません。
次に、2と8の場所を考えると、下のように2，5，8が、一直線となるパターンしかありえません。
上の二つは、1，5，9を軸に対称なので、左の場合にだけ注目しても不備はありません。
このとき、残りの数の埋め方は、下のように2通りあります。
よって、真ん中に5が入るときは、1と9の場所で4通り、2と8の場所で2通り、残りの数の場所で2通りなので、4×2×2より、16通りであることがわかります。
真ん中に入る数が6のとき
真ん中に入る数が6の時についてですが、これは真ん中に入る数が4の時と同じなので、8通りです。
以上より、もとめる通り数は、8+16+6＝32より、32とおりであることがわかります。
日本数学オリンピック予選2019 解答・解説 問4
問題：
正五角形ABDCEがあり、線分BEと線分ACの交点をFとする。また点Fを通る直線が辺AB,CDとそれぞれ点G, Hで交わり、BG＝4,CH＝5が成り立つ。この時、線分AGの長さを求めよ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。
解答・解説：
この程度の問題だったら、どこに補助線引いても解けると思うんですけど、私が一番楽だと思った開放を紹介します。
まず、下のように補助線を引きます。
このとき、AG＝ｘ遠くと、下のように埋めることができます。
さらに、ECとFHの交点をPとおくと、AB//CEより、CP:PE＝x:4とわかります。
さらに、FD//CHより、CP:PE＝5:4+xと分かります。
よって、5:4+x=x:4より、x2+4x-20=0なので、xが正であることから、もとめるAGの長さは、
であることがわかります。
これで、問1から4の解答・解説は終了です。
ほかの年の問題の記事や、予選とかの問題の解説をしている記事もありますので、そちらの方も見ていただければ嬉しいです。
また、数学オリンピックの問題を解けるようになりたい方は、ぜひ、下のところを読んでください‼‼
数学オリンピックの問題を解けるようになるには
正直言って、数学オリンピックの問題ぐらいだったら(国際数学オリンピックの最終問題とか本選の最終問題とかを除いて)大体パターン化されているので、勉強さえしておいたら何とかなります。
というわけで、数学オリンピック対策でぜひ読んでおくべき本を紹介したいと思います‼‼
パーフェクトマスターシリーズ
これは、特定の分野をしっかり固めたい方にお勧めです。
大事な問題だけがセレクトされているので、その分野の問題をしっかり鍛えることができます。
初等整数を鍛えたい方にオススメ‼‼
これは、初等整数をマスターしたい方にお勧めです。
初等整数の問題はよく本選の大門１なんかで出題されることが多いので、そういった類の問題を解けるようになりたい方はこの本がおすすめです‼‼
平面幾何を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は平面幾何を鍛えたい方にオススメの本です。
「数学オリンピックの幾何の問題を解いていると、「こんな発想が出てくるわけないだろ！！」みたいな問題にあたることはよくあると思います。
この本を読むことで、そういう問題たちをすらすら解けるようになります‼‼
代数・解析を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は、代数、解析を鍛えたい方におススメの本です
数学オリンピックの問題の中でも、「絶対解けるか！！」みたいなレベルの問題って稀にあるじゃないですか。
こういう問題は、代数・解析の分野に入ることが多いです。
数学オリンピックで、難しい問題を解いてほかの受験生と差をつけたい方にはこの本をお勧めします‼
組み合わせ論を鍛えたい方にオススメ‼‼
下の本は、組み合わせ論を鍛えたい方におススメの本です。
数学オリンピックの場合の数の問題は、ほかの分野に比べてそこまで難しい問題が出題されることはあまりないんですが、とにかくめちゃくちゃミスしやすいように巧妙に仕組まれています。
そんなミスしやすいポイントをしっかり克服するためにも、ぜひこの本は見ていただきたいです。
過去問をひたすら解きまくる
これも結構おすすめです。過去問を全部解いていれば、実質数学オリンピックに関係する問題を全部網羅したようなものなので、完璧にマスターしたい方にはこちらの方法をお勧めします‼‼
ほかにも過去問についてはいろんな著者がいろんな本を出版しているので、ぜひそちらの本も調べてみてください。(下リンク)
数学オリンピックの参考書は高すぎる‼‼
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また、息抜きに読書したいときにも役に立つので、ぜひこれは、お勧めしたいです‼‼
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終わりに
いかがでしたか。
ほかにも数学オリンピックの解説している記事もありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です‼‼
それでは次の記事で‼
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