初めに
この記事は下のリンクの記事の補足内容となっております。基礎からしっかり学びたい方や、基本をもう一度復習したい方はぜひ下の記事を読んでからみてください。
また、このサイトは下の本を参考にしています。よかったら買ってみてください。
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それでは公式と証明を見ていきましょう‼‼
正規分布の標準偏差と期待値に関する公式
正規分布の基本公式は上のリンクでも述べたとおり、下のようになります。
さらに、確率変数Xが、正規分布N(m,σ²)に従うとき、下の公式が成り立ちます。
E(X)=m
σ(X)=σ
この公式の証明をしていきます。
講師は全員京大生だから安心
正規分布の標準偏差と期待値に関する公式の証明
ガウス積分というのを使います。ガウス積分というのは下の式が成り立つことです。
これの証明についてもし気になる方がいれば、下のリンクをクリックして読んでみてください。(めちゃくちゃ難しいです。ヤコビアン行列式とか出てきます。)
また、これを使うことで下のことを導き出せます。
それでは証明していきます。
↓上のｍが、ここでは、μと表示されていると思ってください。exp{x}は、eのx乗を表しています。
これで、期待値がｍであることが証明されました。
次に、標準偏差について証明していきます。
より、V(X)=E(X²)-{E(X)²}であることから、V(X)=σ²であることが分かるため、標準偏差はσとなります。
これで証明されました。
V(X)=E(X²)-{E(X)²}が分からない方や、σ=√V(X)が分からない方は下のリンクをクリック‼‼
終わりに
正規分布の期待値、標準偏差の範囲以外の確率・統計分野についてもっと知りたい方は、ぜひ、下のリンクの記事を読んでください。
ほかにも面白い記事がたくさんありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です。
それでは次の記事で‼‼
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