初めに
この記事は下のリンクの記事の補足内容となっております。基礎からしっかり学びたい方や、基本をもう一度復習したい方はぜひ下の記事を読んでからみてください。
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それでは公式と証明を見ていきましょう‼‼
二項定理の基本公式
二項定理の基本公式は上のリンクでも述べたとおり、下のようになります。
E(X)=np
V(X)=npq
σ(X)=√npq
この公式の証明をしていきます。
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分散の基本公式の証明
1回の施行で、事象 Aの起こる確率がpである試行をn回行うとき、第k回目の施行で、Aが起これば、1、起こらなければ、0を取る確率変数Xkを考えます。
この時、q=1-pと置くと、下のことが成立します。
P(Xk=1)=p,P(Xk=0)=q
よって、下のことが導き出されます。
E(Xk)=1×p+0×q=p
E(Xk²)=1×p+0×q=p
V(Xk)=p-p²=pq
ここで、kの値が違うとき、Xkは互いに独立であるから、X=X1+X2+…Xnであることより、下のことが成り立ちます。
E(X)=E(X1+X2+…Xn)=E(X1)+E(X2)+…E(Xn)=np
V(X)=V(X1+X2+…Xn)=V(X1)+V(X2)+…V(Xn)=npq
σ(X)=√V(X)=√npq
これで証明完了です。
終わりに
二項分布の範囲以外の確率・統計分野についてもっと知りたい方は、ぜひ、下のリンクの記事を読んでください。
ほかにも面白い記事がたくさんありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です。
それでは次の記事で‼‼
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