初めに
この記事は下のリンクの記事の補足内容となっております。基礎からしっかり学びたい方や、基本をもう一度復習したい方はぜひ下の記事を読んでからみてください。
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それでは公式と証明を見ていきましょう‼‼
確率変数の変換公式
確率変数Xと、定数a,bに対して、Y=aX+bとすると、Yも確率変数となり、下の定理が成り立ちます。
E(Y)=aE(X)+b
V(Y)=a²V(X)
σ(Y)=|a|σ(X)
この公式を証明していきます。
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確率変数の変換公式の証明
Yの期待値については、下の写真に書いてあること通りです。これには補足はいらないと思います。
次に分散についての証明をします。まず、先ほどわかったことから、下のように変形できます。
そして、これを分散の定義に代入するだけです。
これで分散の場合について導き出せたので、標準偏差は簡単です。標準偏差はこれに√をつければいいだけなので、
となるため、標準偏差の場合についてもちゃんと導き出されました。
これで証明完了です。
終わりに
確率分布・確率変数の範囲以外の確率・統計分野についてもっと知りたい方は、ぜひ、下のリンクの記事を読んでください。
ほかにも面白い記事がたくさんありますので、そちらのほうも見ていただければ光栄です。
それでは次の記事で‼‼
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